Haftet der Vermieter generell für alle Schäden, die dem Mieter im Zusammenhang mit der Mietsache an seinem Eigentum entstehen, z.B. auch für Sturmschäden?

Nein. Dies wäre nur der Fall bei bestimmten Fallgestaltungen. Es müsste der Mangel der Mietsache schon "von Anfang an" (im Zeitpunkt des Mietvertragsschlusses) vorhanden sein. Dies ist beim Umstürzen eines Baumes jedoch nicht der Fall. Anders wäre dies nur dann zu beurteilen, wenn der Baum erkennbar umsturzgefährdet wäre oder der Vermieter es zu unterlassen hätte, den Baumbestand regelmäßig auf seine Standfestigkeit hin zu überprüfen. In diesem Fall hätte der Vermieter seine Verkehrssicherungspflicht verletzt.

Aber auch die Pflicht des Vermieters zur Verkehrssicherungspflicht besteht nicht unbegrenzt. Im Rahmen der Haftung für Verstöße gegen die Verkehrssicherungspflicht hatte der BGH kürzlich entschieden, dass ein Vermieter nicht dafür haftet, wenn sich das Kleinkind eines Mieters an einer splitternden Wohnungsinnentüre verletzt. Im Fall war zum Zeitpunkt der Bauerrichtung splitterbindendes Glas durch die Bauordnung bzw. durch technische Regeln nicht vorgeschrieben gewesen.